20 sept. 2010

Raíces mortais

Todos oímos falar algunha vez de científicos que no seu momento foron ridiculizados ou perseguidos por mor dos seus descubrimentos, pero aos que logo a Historia acabou dando a razón e recoñecendo os seus méritos. O que quizais non saibades é que tamén existiu un matemático que terminou pagando coa súa vida o "pecado" cometido ao descubrir un novo tipo de números. Imaxinádesvos a alguén capaz de matar hoxe en día por algo así? Parece incrible, aínda que entón, hai uns vinte e cinco séculos, as cousas víanse de forma moi distinta.

Resulta que alá polo século V a.C., Pitágoras (o do famoso teorema) fundou unha especie de sociedade secreta, a escola pitagórica, que habitou no sur de Italia e que se rexía por unha serie de normas moi estritas e peculiares, tanto no relativo ás súas crenzas como aos seus costumes. De feito, dise que o Mestre (pois así chamaban a Pitágoras) era sumamente intransixente e que eran necesarios varios anos de servizo á "orde" para poder velo en persoa, tras escoitar a súa voz a través dunha cortina moito tempo.
Os pitagóricos tiñan, ademais, a firme crenza de que todo o Universo podía ser explicado cos números naturais e coas fraccións que se poden formar con eles, polo que consideraban aos elementos do conxunto N como a esencia da realidade, o único que merecía a pena e a vía para superar todas as penalidades e alcanzar unha existencia celestial.

Pero este mundo cambaleouse un día, pois un deses matemáticos/filósofos pertencentes á escola (ou máis ben, á seita) púxose a pensar diferente e meteuse nunha verdadeira lea.
Este personaxe, chamado Hipaso de Metaponto, decidiu medir a diagonal dun cadrado utilizando o lado deste como unidade de medida. Para entendernos: se tomamos un cadrado de lado igual a 1, canto mide a súa diagonal?


Como pitagórico que era, Hipaso esperaría que a medida desta diagonal se puidese expresar como un número natural ou como unha fracción, pero se deu conta de que non era así. Hoxe sabemos que esa diagonal mide raiz2.bmp (2722 bytes) e que este número é irracional (posúe infinitas cifras decimais non periódicas).
Conta a lenda que Hipaso comunicou este descubrimento aos seus compañeiros, e estes, ao ver que o seu paraíso numérico viña abaixo, decidiron eliminalo inmediatamente, tirándoo pola borda do barco en que viaxaba, unha vez expulsado da comunidade pitagórica, pois non podían consentir que se soubese da existencia dun número que violaba as divinas propiedades dos naturais. Desta forma, creron acabar cos "perigosos" números irracionais...¡Vais con estes ilusos!

17 sept. 2010

Encrucillado xeométrico

Agora que comez un novo curso, non vén mal repasar os coñecementos básicos, así que aquí tendes un encrucillado relativo aos principais termos xeométricos (premede sobre a imaxe e poderedes resolvelo).

16 sept. 2010

Cantas cores necesitas para colorear un mapa?

En 1852, Francis Guthrie, un graduado do Colexio Universitario de Londres, escribiu ao seu irmán pequeno Frederick unha carta na que lle mencionaba unha dúbida que lle asaltou cando tratou de colorear un mapa cos territorios de Inglaterra. A dúbida era:
"Pode un mapa de territorios ser coloreado con catro ou menos cores, de tal xeito que non existan dúas rexións con fronteira común que teñan a mesma cor?".


Francis Guthrie non puido resolver o problema, polo que recorreu ao seu profesor, o distinguido matemático Augustus De Morgan. En outubro de 1852, De Morgan confesou nunha carta ao aínda máis distinguido matemático William Rowan Hamilton que era incapaz de atopar unha vía de acceso para tratar o problema.

En 1879, un tal Kempe creu probar que a resposta era 4, pero once anos máis tarde descubriuse que os seus cálculos non eran correctos. Con todo, grazas a este e semellantes esforzos, desenvolvéronse valiosos conceptos na teoría de grafos

En 1890, P. J. Heawood probou que con 5 cores sempre bastaba, pero non probou que este era o número mínimo de cores que se precisaban. 

Minkowski, unha imporante figura matemática do século XIX, manifestou nunha ocasión aos seus alumnos que a única razón de que o problema non fose resolto era que soamente fora tratado por matemáticos mediocres. "Creo que podo probalo", anunciou. Algún tempo máis tarde tivo que recoñecer humildemente ante os seus pupilos: "O ceo quixo castigar a miña arrogancia. A miña proba tampouco é válida". 

A solución final conseguiuse en 1976 e debeuse a Wolfgang Haken e Kenneth Appel, da Universidade de Illinois, que transformaron o problema nunha serie de subproblemas que podían ser comprobados no computador. A pesar de todo, non foi fácil: empregáronse 1200 horas de computador e o razoamento era excesivamente longo. A solución dada polo computador era: 4 cores. Algúns matemáticos cren que o problema segue sen resolver, pois os cálculos son tan longos e complexos que resultan case inverificables. Non obstante, hoxe, case tres décadas despois, a comunidade matemática recoñece a validez da proba, aínda que continúa habendo escépticos que esperan unha demostración máis sinxela.


Agora copia ti a seguinte figura e intenta coloreala sen que aparezan dúas rexións fronteirizas da mesma cor. Cúmprese o Teorema das 4 cores?



Fonte:   Libro "La sonrisa de Pitágoras"  (Autor: Lamberto García del Cid)

15 sept. 2010

Números con alcume

Hai anos, en moitos fogares españois, existía o costume de xogar ao bingo tras as comidas ou as ceas, sobre todo nas datas sinaladas. Así, preparábase un pequeno bombo con bólas numeradas no seu interior e repartíanse entre os xogadores uns cartóns nos que, segundo ían saíndo as bólas, se tachaban os seus correspondentes números, ata que alguén completaba todos os dun cartón e convertíase en gañador tras berrar “¡Bingo!” .

O curioso do asunto é que moitos dos números tiñan unha denominación especial que había que coñecer se un quería xogar con posibilidades. Deste xeito, a persoa que cantaba os números non dicía 15, senón “a nena bonita”; o 1 era “o galán” ou “o pequeno”; e o 13, obviamente, “a mala pata”. O máis normal era que o nome tivese que ver coa forma do número; por exemplo, o 11 era “as banderillas”, e o 22, “os dous parrulos” ou “as monxas axeonlladas”.

Tamén había números que tiñan diferentes alias dependendo da zona ou provincia na que se xogase. Así, o 88 podía ser, sen razón aparente, “os bombos” en Soria ou “as cabazas”, que era como se lle denominaba noutras cidades españolas. O mesmo ocorría co 77, que habitualmente era “as dúas bandeiras”, aínda que nalgunhas localidades se convertía nas “bandeiras italianas”.

Outras veces, o nome tiña que ver co significado, sequera metafórico. Era o caso do 33, que se convertía na “idade de Cristo”; o 90, no “avó”; o 99, na “agonía”; e o 0, evidentemente, na “morte”. Así mesmo, había casos nos que a relación entre o número e o seu significado non era, nin moito menos, tan fácil de asociar: o 48 era inexplicablemente o “año”; o 44, o “cuacaraca-cuacara”; e o 55, “os civís”. Pero, o que todo o mundo sabía é que, cando saía o 21, había que berrar á vez... “¡Un!”.

Fonte:    Revista "Muy Interesante"