22 dic. 2010

Probabilidades loteiras



¡Chegou o gran día que todos esperabamos!

En efecto, por fin está aquí a Lotería de Nadal, ese gran evento que marca o inicio destas entrañables festas e que, como cada ano, fai soñar a millóns de españois coa posibilidade de converterse en millonarios.

Pero, algunha vez  preguntámonos  cal é realmente a probabilidade de resultar premiados neste xogo de azar? Ímolo ver, aínda que iso signifique romper as ilusións de máis dunha persoa.

A probabilidade de que nos toque algún premio obtense dividindo o número de casos favorables a recibilo (é dicir, todos os premios anunciados no reverso de calquera décimo), entre a totalidade de casos posibles (isto é, os 85.000 números do sorteo de Nadal, comprendidos entre o 00000 e o 84.999). Polo tanto, se xogamos un só número, teremos que:
  • a probabilidade de que nos toque "o gordo" é 1/85.000 = 0,0000117647, a mesma de que nos toque o segundo ou o terceiro premio.
  • a probabilidade de que nos toque un dos dous cuartos ou dos oito quintos é, respectivamente, 2/85.000 = 0,0000235294 e 8/85.000 = 0,0000941176.
  • a probabilidade de consolarnos cunha das 1.774 pedreas é 1.774/85.000 = 0,0208705882.
  • a probabilidade de recibir algún dos 13.334 premios anunciados en cada billete (incluídas centenas, terminacións e demais) é 13.334/85.000 = 0,1568705882, case un 16%.
Que podemos deducir de todo isto? Pois que se alguén xoga 25 números diferentes cada ano (un mínimo de 500€, xa que cada décimo costa 20€), recibirá, aproximadamente, catro premios (25 x 0,16 = 4), a metade dos cales serán simples reintegros.

Por outra banda, deberiamos ter tamén en conta a esperanza matemática de ganancia para un décimo, que se calcula sumando os produtos das posibles ganancias polas probabilidades de obtelas, e restando o diñeiro que se paga por ese décimo (20€). Dado que o resultado é -6€, o xogo é claramente desfavorable.

Por que entón a Lotería de Nadal continúa sendo o xogo de azar que máis seguidores ten no noso país? Porque existen persoas que para silenciar a crúa realidade matemática manipulan os sentimentos dos apostantes, facéndolles crer que hai números ou lugares de España máis favorables que outros a ser premiados, ou tamén, que unha catástrofe natural nunha determinada rexión adoita ser aliviada por este sorteo. Con todo, debemos comprender que se trata dunha vulgar publicidade para facernos comprar billetes de lotería, posto que todo ese diñeiro que a maioría perdemos o gañan uns poucos (os que teñen os premios maiores) e, sobre todo, o Estado. De todos os xeitos, pode servirnos de consolo pensar que o Estado somos todos e que, polo menos unha vez ao ano, non é necesario que nos obriguen a pagar impostos, xa que en Nadal o facemos de forma voluntaria ao comprar os nosos décimos.

E ninguén como o magnífico Forges para ilustrar como nos sentimos case todos os españois cada 23 de decembro:




6 dic. 2010

As Matemáticas máis doces

Se ti es unha deses millóns de persoas ás que non lles gustan as Matemáticas, quizais cambies de opinión cando probes a pastilla de chocolate Pitágoras.
Os responsables de adozar algo tan eslamiado e aburrido como un teorema con varios miles de anos de antigüidade foron o matemático Enrique Zuazua, o chocolateiro Enric Rovira e o deseñador Santos Bregaña, baseándose nunha fórmula matemática.

Esta pastilla está formada por triángulos rectángulos e cadrados concéntricos, aparentemente cunha división irregular, é dicir, uns anacos parecen ser máis grandes que outros. Con todo, non é así, posto que todos teñen a mesma superficie. Por iso, se intentamos buscar o anaco máis grande, estaremos a perder o tempo.
A pastilla pesa 180 gramos e véndese a 13 € en tendas de alimentación especiais, aínda que, polo momento, é máis doado conseguila en Tokio que en España. Non sei vós, pero eu estou desexando probala.

Para ir abrindo boca, aquí vos deixo un vídeo no que se conta como idearon esta marabilla. ¡Ai..., se Pitágoras levantase a cabeza!


1 dic. 2010

Uns ósos moi útiles

John Napier foi un teólogo escocés afeccionado ás Matemáticas que a principios do século XVII deu cun achado que ía revolucionar toda a ciencia: os logaritmos.
En efecto, farto de dedicar horas e horas a realizar os tediosos cálculos aritméticos, inventou esta ferramenta que permitía a simplificación dos mesmos e que rapidamente se convertería nunha axuda imprescindible, sobre todo para os astrónomos, quen ata entón empregaban anos na elaboración das cartas astronómicas. Cóntase que o mesmo Johannes Kepler, tras recibir as primeiras táboas de logaritmos, manifestou o seu entusiasmo polo invento, sendo reprendido por un antigo profesor, xa que segundo este non era correcto que un Catedrático de Matemáticas se alegrase do acurtamento dos cálculos, tal e como faría un neno.

Pero Napier, cuxo nome tivo múltiples versións diferentes (Napier, Napeir, Nepair, Nepeir, Neper, Nepero, Napar, Napare, Naipper...), tamén deseñou un sistema de cálculo mecánico para efectuar facilmente sumas e multiplicacións, que se bautizou coloquialmente como ósos de Napier, e que en Escocia foi utilizado asiduamente durante máis dun século.
Este método consistía en manipular axeitadamente unhas baleas de sección cadrada, sobre as que estaban inscritas as táboas de multiplicar, e un taboleiro opcional. As baleas dispúñanse verticalmente e de forma contigua en función do número e do cálculo a realizar, de modo que a adición diagonal de díxitos que aparecían na fila dun dos produtos proporcionaba o resultado da operación. Un dos materiais empregados para fabricar esas baleas era o marfil, polo que a súa semellanza cunha osamenta fixo que fosen coñecidas como "ósos".



Vexamos agora un exemplo para comprender mellor como era utilizado este invento.
Supoñamos que queremos multiplicar 739 por 6. Para iso selecciónanse as tres baleas correspondentes aos números 7, 3 e 9, e dispóñense de forma contigua nesa orde. A continuación, observamos a sexta fila do conxunto de baleas (no debuxo adxunto aparece sombreada en cor amarela). Cada unha das sumas dos pares de díxitos enfrontados diagonalmente, de abaixo a arriba e de esquerda a dereita (4, 2+1=3, 8+5=13, 4), proporciónannos un dos catro díxitos da solución: 4434 (como para a cifra das decenas se obtén 13, deixamos o 3, levámonos 1 unidade e sumámoslla á cifra das centenas, pasando a ser esta 4).

A que non está nada mal esta outra forma de multiplicar?